સાબિત કરો $\sum\limits_{r = 0}^n {{3^r}{\,^n}{C_r} = {4^n}} $
સાબિત કરો $\sum\limits_{r = 0}^n {{3^r}{\,^n}{C_r} = {4^n}} $
By Binomial Theorem,
$\sum\limits_{r = 0}^n {{\,^n}{C_r}{a^{n - r}}{b^r} = {{\left( {a + b} \right)}^n}} $
By putting $b=3$ and $a=1$ in the above equation, we obtain
$\sum\limits_{r = 0}^n {{\,^n}{C_r}{{\left( 1 \right)}^{n - r}}{{\left( 3 \right)}^r} = {{\left( {1 + 3} \right)}^n}} $
$ \Rightarrow \sum\limits_{r = 0}^n {{3^r}{\,^n}{C_r} = {4^n}} $
Hence proved.
Similar Questions
${(\sqrt x - \sqrt y )^{17}}$ ના વિસ્તરણમાં $16^{th}$ મું પદ મેળવો.
${(\sqrt x - \sqrt y )^{17}}$ ના વિસ્તરણમાં $16^{th}$ મું પદ મેળવો.
${\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)^n}\left( {1 - {x}} \right)^n$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ મેળવો.
${\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)^n}\left( {1 - {x}} \right)^n$ ના વિસ્તરણમાં મધ્યમ પદ મેળવો.
- [AIEEE 2012]
$a$ ની કઈ કિમત માટે ${\left( {{x^2}\,\, + \,\,\frac{a}{{{x^3}}}} \right)^{10}}$ ના વિસ્તરણમાં $x^5$ અને $x^{15}$ નો સહગુણકો સમાન થાય ?
$a$ ની કઈ કિમત માટે ${\left( {{x^2}\,\, + \,\,\frac{a}{{{x^3}}}} \right)^{10}}$ ના વિસ્તરણમાં $x^5$ અને $x^{15}$ નો સહગુણકો સમાન થાય ?
$(1-x)^{2008}\left(1+x+x^2\right)^{2007}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{2012}$ નો સહગુણક........................છે.
$(1-x)^{2008}\left(1+x+x^2\right)^{2007}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{2012}$ નો સહગુણક........................છે.
- [JEE MAIN 2024]
${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^6}$ ના વિસ્તરણમાં અચળ પદમેળવો.
${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^6}$ ના વિસ્તરણમાં અચળ પદમેળવો.